Ở trên ta gặp dạng mẫu chuẩn, nếu với 2 biến x,y ta có:

f ( x , y ) = A x 2 + B y 2 + C x + D y + E x y + F {\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F}

Với A,B,C,D,E cố định và F biến thiên. Tại f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} thay đổi mô tả được tại đó giao điểm của mặt phẳng với một mặt phẳng z=0 khác. Nó có thể coi như một giao điểm khi cắt một mặt nón bằng một thiết diện.

Cực đại và cực tiểu của hàm

nếu 4 A B − E 2 < 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}<0} thì hàm không có giá trị cực đại hay cực tiểu mà như là một hình parabol hyperbolic

nếu 4 A B − E 2 > 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}>0} thì hàm có cực đại tại A<0 và cực tiểu tại A>0. và khi đó xảy ra tại ( ( x 0 ; y 0 ) : ( − 2 B C − D E 4 A B − E 2 ; − 2 A D − C E 4 A B − E 2 ) {\displaystyle (x_{0};y_{0}):(-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}};-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}})}

nếu 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0} và D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0} . Hàm cũng không có cực đại hay cực tiểu và nó giống một xilanh parabol.

nếu 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0} và D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0} . Hàm cực đại và cực tiểu trên một đường có cực tiểu tại A>0 và cực đại tại A<0.